Álgebra lineal Ejemplos

$9 x + 2 y = 30$ , $3 x - 4 y = 24$

Paso 1

Resuelve $x$ en $9 x + 2 y = 30$ .

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Paso 1.1

Resta $2 y$ de ambos lados de la ecuación.

$9 x = 30 - 2 y$

$3 x - 4 y = 24$

Paso 1.2

Divide cada término en $9 x = 30 - 2 y$ por $9$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $9 x = 30 - 2 y$ por $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{30}{9} + \frac{- 2 y}{9}$

$3 x - 4 y = 24$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{9 x}{9} = \frac{30}{9} + \frac{- 2 y}{9}$

$3 x - 4 y = 24$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{30}{9} + \frac{- 2 y}{9}$

$3 x - 4 y = 24$

$x = \frac{30}{9} + \frac{- 2 y}{9}$

$3 x - 4 y = 24$

$x = \frac{30}{9} + \frac{- 2 y}{9}$

$3 x - 4 y = 24$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1.1

Cancela el factor común de $30$ y $9$ .

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Paso 1.2.3.1.1.1

Factoriza $3$ de $30$ .

$x = \frac{3 (10)}{9} + \frac{- 2 y}{9}$

$3 x - 4 y = 24$

Paso 1.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.1.1.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$x = \frac{3 \cdot 10}{3 \cdot 3} + \frac{- 2 y}{9}$

$3 x - 4 y = 24$

Paso 1.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{3 \cdot 10}{3 \cdot 3} + \frac{- 2 y}{9}$

$3 x - 4 y = 24$

Paso 1.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{10}{3} + \frac{- 2 y}{9}$

$3 x - 4 y = 24$

$x = \frac{10}{3} + \frac{- 2 y}{9}$

$3 x - 4 y = 24$

$x = \frac{10}{3} + \frac{- 2 y}{9}$

$3 x - 4 y = 24$

Paso 1.2.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$3 x - 4 y = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$3 x - 4 y = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$3 x - 4 y = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$3 x - 4 y = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$3 x - 4 y = 24$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $\frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $3 x - 4 y = 24$ por $\frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$ .

$3 (\frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}) - 4 y = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $3 (\frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}) - 4 y$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (\frac{10}{3}) + 3 (- \frac{2 y}{9}) - 4 y = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$3 (\frac{10}{3}) + 3 (- \frac{2 y}{9}) - 4 y = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$10 + 3 (- \frac{2 y}{9}) - 4 y = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$10 + 3 (- \frac{2 y}{9}) - 4 y = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Paso 2.2.1.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2 y}{9}$ al numerador.

$10 + 3 (\frac{- 2 y}{9}) - 4 y = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Paso 2.2.1.1.3.2

Factoriza $3$ de $9$ .

$10 + 3 (\frac{- 2 y}{3 (3)}) - 4 y = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Paso 2.2.1.1.3.3

Cancela el factor común.

$10 + 3 (\frac{- 2 y}{3 \cdot 3}) - 4 y = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Paso 2.2.1.1.3.4

Reescribe la expresión.

$10 + \frac{- 2 y}{3} - 4 y = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$10 + \frac{- 2 y}{3} - 4 y = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Paso 2.2.1.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$10 - \frac{2 y}{3} - 4 y = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$10 - \frac{2 y}{3} - 4 y = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Paso 2.2.1.2

Para escribir $- 4 y$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$10 - \frac{2 y}{3} - 4 y \cdot \frac{3}{3} = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Paso 2.2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 2.2.1.3.1

Combina $- 4 y$ y $\frac{3}{3}$ .

$10 - \frac{2 y}{3} + \frac{- 4 y \cdot 3}{3} = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Paso 2.2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$10 + \frac{- 2 y - 4 y \cdot 3}{3} = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$10 + \frac{- 2 y - 4 y \cdot 3}{3} = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Paso 2.2.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1.4.1.1

Factoriza $2 y$ de $- 2 y - 4 y \cdot 3$ .

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Paso 2.2.1.4.1.1.1

Factoriza $2 y$ de $- 2 y$ .

$10 + \frac{2 y (- 1) - 4 y \cdot 3}{3} = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Paso 2.2.1.4.1.1.2

Factoriza $2 y$ de $- 4 y \cdot 3$ .

$10 + \frac{2 y (- 1) + 2 y (- 2 \cdot 3)}{3} = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Paso 2.2.1.4.1.1.3

Factoriza $2 y$ de $2 y (- 1) + 2 y (- 2 \cdot 3)$ .

$10 + \frac{2 y (- 1 - 2 \cdot 3)}{3} = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$10 + \frac{2 y (- 1 - 2 \cdot 3)}{3} = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Paso 2.2.1.4.1.2

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$10 + \frac{2 y (- 1 - 6)}{3} = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Paso 2.2.1.4.1.3

Resta $6$ de $- 1$ .

$10 + \frac{2 y \cdot - 7}{3} = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Paso 2.2.1.4.1.4

Multiplica $- 7$ por $2$ .

$10 + \frac{- 14 y}{3} = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$10 + \frac{- 14 y}{3} = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Paso 2.2.1.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$10 - \frac{14 y}{3} = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$10 - \frac{14 y}{3} = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$10 - \frac{14 y}{3} = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$10 - \frac{14 y}{3} = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$10 - \frac{14 y}{3} = 24$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Paso 3

Resuelve $y$ en $10 - \frac{14 y}{3} = 24$ .

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{14 y}{3} = 24 - 10$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Paso 3.1.2

Resta $10$ de $24$ .

$- \frac{14 y}{3} = 14$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$- \frac{14 y}{3} = 14$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- \frac{3}{14}$ .

$- \frac{3}{14} \cdot (- \frac{14 y}{3}) = - \frac{3}{14} \cdot 14$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Paso 3.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.1

Simplifica $- \frac{3}{14} (- \frac{14 y}{3})$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{14}$ al numerador.

$\frac{- 3}{14} \cdot (- \frac{14 y}{3}) = - \frac{3}{14} \cdot 14$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Paso 3.3.1.1.1.2

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{14 y}{3}$ al numerador.

$\frac{- 3}{14} \cdot \frac{- 14 y}{3} = - \frac{3}{14} \cdot 14$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Paso 3.3.1.1.1.3

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 (- 1)}{14} \cdot \frac{- 14 y}{3} = - \frac{3}{14} \cdot 14$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Paso 3.3.1.1.1.4

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot - 1}{14} \cdot \frac{- 14 y}{3} = - \frac{3}{14} \cdot 14$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Paso 3.3.1.1.1.5

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{14} \cdot (- 14 y) = - \frac{3}{14} \cdot 14$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$\frac{- 1}{14} \cdot (- 14 y) = - \frac{3}{14} \cdot 14$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Paso 3.3.1.1.2

Cancela el factor común de $14$ .

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Paso 3.3.1.1.2.1

Factoriza $14$ de $- 14 y$ .

$\frac{- 1}{14} \cdot (14 (- y)) = - \frac{3}{14} \cdot 14$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Paso 3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{14} \cdot (14 (- y)) = - \frac{3}{14} \cdot 14$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Paso 3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{3}{14} \cdot 14$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$y = - \frac{3}{14} \cdot 14$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Paso 3.3.1.1.3

Multiplica.

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Paso 3.3.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 y = - \frac{3}{14} \cdot 14$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Paso 3.3.1.1.3.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$y = - \frac{3}{14} \cdot 14$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$y = - \frac{3}{14} \cdot 14$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$y = - \frac{3}{14} \cdot 14$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$y = - \frac{3}{14} \cdot 14$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $14$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3}{14}$ al numerador.

$y = \frac{- 3}{14} \cdot 14$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Paso 3.3.2.1.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{- 3}{14} \cdot 14$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Paso 3.3.2.1.3

Reescribe la expresión.

$y = - 3$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$y = - 3$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$y = - 3$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$y = - 3$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

$y = - 3$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- 3$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = \frac{10}{3} - \frac{2 y}{9}$ por $- 3$ .

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 (- 3)}{9}$

$y = - 3$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $\frac{10}{3} - \frac{2 (- 3)}{9}$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Cancela el factor común de $- 3$ y $9$ .

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Paso 4.2.1.1.1.1

Factoriza $3$ de $2 (- 3)$ .

$x = \frac{10}{3} - \frac{3 (2 \cdot (- 1))}{9}$

$y = - 3$

Paso 4.2.1.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.1.1.1.2.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$x = \frac{10}{3} - \frac{3 (2 \cdot (- 1))}{3 (3)}$

$y = - 3$

Paso 4.2.1.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{10}{3} - \frac{3 (2 \cdot (- 1))}{3 \cdot 3}$

$y = - 3$

Paso 4.2.1.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 \cdot (- 1)}{3}$

$y = - 3$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 \cdot (- 1)}{3}$

$y = - 3$

$x = \frac{10}{3} - \frac{2 \cdot (- 1)}{3}$

$y = - 3$

Paso 4.2.1.1.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{10}{3} - \frac{- 2}{3}$

$y = - 3$

Paso 4.2.1.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = \frac{10}{3} + \frac{2}{3}$

$y = - 3$

Paso 4.2.1.1.4

Multiplica $- - \frac{2}{3}$ .

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Paso 4.2.1.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x = \frac{10}{3} + 1 (\frac{2}{3})$

$y = - 3$

Paso 4.2.1.1.4.2

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$x = \frac{10}{3} + \frac{2}{3}$

$y = - 3$

$x = \frac{10}{3} + \frac{2}{3}$

$y = - 3$

$x = \frac{10}{3} + \frac{2}{3}$

$y = - 3$

Paso 4.2.1.2

Combina fracciones.

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Paso 4.2.1.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{10 + 2}{3}$

$y = - 3$

Paso 4.2.1.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.1.2.2.1

Suma $10$ y $2$ .

$x = \frac{12}{3}$

$y = - 3$

Paso 4.2.1.2.2.2

Divide $12$ por $3$ .

$x = 4$

$y = - 3$

$x = 4$

$y = - 3$

$x = 4$

$y = - 3$

$x = 4$

$y = - 3$

$x = 4$

$y = - 3$

$x = 4$

$y = - 3$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(4, - 3)$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(4, - 3)$

Forma de la ecuación:

$x = 4, y = - 3$

Paso 7